Задача о вершинном покрытии

В Информатике, задача о вершинном покрытии является NP-полной задачей в области теории графов. Также часто используется в теории сложности для доказательства NP-полноты более сложных задач.

Определение

Вершинное покрытие для неориентированного графа G = (V,E) это множество его вершин S, такое что, у каждого ребра графа хотя бы один из концов входит в S.

Размером (size) вершинного покрытия называется число входящих в него вершин.

Пример: Граф, изображённый вверху имеет вершинное покрытие {1,3,5,6} размера 4. Однако оно не является наименьшим вершинным покрытием, поскольку существуют вершинные покрытия меньшего размера, такие как {2,4,5} и {1,2,4}.

Задача о вершинном покрытии требует указать минимально возможный размер k вершинного покрытия для заданного графа.

На входе: Граф G.

Результат: k - размер наименьшего вершинного покрытия S графа G.

Также вопрос можно ставить, как эквивалентную задачу о разрешении:

На входе: Граф G и положительное целое число k.

Вопрос: Существует ли вершинное покрытие S для G размера k?

Задача о вершинном покрытии сходна с задачей о независимом наборе. Множество вершин S является вершинным покрытием тогда и только тогда, когда его дополнение является незавимимым набором.

Это следует из того, что граф с n вершинами имеет вершинное покрытие размера k тогда и только тогда, когда данный граф имеет незавимимый набор размера n − k. В этом смысле обе проблемы равнозначны.

NP-полнота

Поскольку задача о вершинном покрытии является NP-полной, то, к сожалению, неизвестны алгоритмы для её решения за полиномиальное время. Однако, существуют алгоритмы, дающие «приближённое» решение этой задачи за полиномиальное время — можно найти вершинное покрытие, в котором число вершин не более чем вдвое превосходит минимально возможное.